\subsection{Würfeln}
Es wird mit einem Laplace-Würfel gewürfelt. Das gewünschte Ereignis, ist eine
Zahl zwischen 1 und 3 zu werfen, d.h. $ A=\{1,2,3\} $. Dieses Grundereignis hat
bei einer Gundgesamtheit $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ eine Wahrscheinlichkeit von

$$p(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$


Nun wird ein Zusatzereignis $B$ definiert, was als Voraussetzung dienen soll. In
diesem Fall soll das Ereignis ``gerade Augenzahl`` definiert werden. Die
Wahrscheinlichkeit von $A$ ändert sich nun, da $B=\{2,4,6\}$ per Definition
schon eingetreten ist. 

$$p(A \mid B)=\frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{p(\{2\})}{p(\{2,4,6\})} =
\frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3}$$

Die Wahrscheinlichkeit von $A$ ist also $50\%$ und wird durch die
Zusatzbedingung $B$ auf $33\%$ verringert.

\subsection{Dartscheibe}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{dart.png}
\caption{Bedingte Wahrscheinlichkeiten als Dartscheibe}
\label{dart}
\end{center}
\end{figure}
Ein sehr anschauliches Beispiel ist die Betrachtung eines Dartspiels. Hierbei
bezeichnet $\Omega$ die gesamte Fläche der Dartscheibe. Per Definition
tritt immer das sichere Ereignis ein, der Pfeil landet also immer in
$\Omega$.

Nun wird eine bestimmte Fläche $A$ der Scheibe markiert, die für einen bestimmten
Spielzug getroffen werden soll. Diese Wahrscheinlichkeit ist nun
proportional zum Verhältnis 

$$ \frac{Trefferfl\ddot{a}che}{Gesamtfl\ddot{a}che} = \frac{A}{\Omega} $$

Nun soll eine zweite Zusatzbedingung definiert werden. Die Fläche $B$, welche
sich mit $A$ überlappt, soll bereits getroffen sein. Welche Wahrscheinlichkeit
ergibt sich nun, dass in die Fläche $A$ getroffen wird (vgl. Abbildung \ref{dart})? Es ist
klar, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit verändert haben muss, da die zu treffende Fläche
sich nun auf die Schnittmenge von $A$ und $B$ beschränkt. Weiterhin gilt, dass
je größer die zusätzlich definierte Fläche war, desto unwahrscheinlicher wird
das Treffen von $A$. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit mit den Flächen
$F$ ausgedrückt zu

$$ p(A) = \frac{F(A \cap B)}{F(B)} = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} $$

\newpage
\subsection{Ziegenproblem}
Das Ziegenproblem stellt anschaulich die Auswirkung bedingter
Wahrscheinlichkeiten dar, und stellt diese in Kontrast zur menschlichen
Intuition.

Zu Grunde liegt ein Spiel, welches aus der TV-Show ``Geh' aufs Ganze`` bekannt
ist. Es gibt drei verschlossene Türen, hinter einer Tür befindet sich ein
Gewinn, hinter zwei eine Niete (respektive nur eine Ziege). Der Kandidat wählt
eine Tür aus, woraufhin der Moderator eine nicht gewählte Tür öffnet. Nun erhält
der Kandidat erneut die Möglichkeit seine vorherige Entscheidung zu überdenken
und sich bei Bedarf umzuentscheiden. Was also tun? 

Nach reiner Intuition macht es doch keinen Unterschied, ob ich mich nach Öffnen
einer Tür nochmals umentscheide, es weiß ja niemand ob hinter der gewählten Tür
der Gewinn oder eine Ziege steckt.

Genauer beleuchten uns dies bedingte Wahrscheinlichkeiten: Nämlich das Ereignis
$G_x$(Gewinn hinter Tür x), wenn $Z_y$ (Ziege hinter Tor y) bekannt ist.

Wir definieren einige Vorbedingungen:
\begin{enumerate}
  \item Der Gewinn und die Ziegen befinden sich zufällig und
  gleichverteilt hinter den Türen
  \item Wählt der Kandidat den Gewinn, entscheidet der Moderator zufällig,
  welche Tür er öffnet
  \item Wählt der Kandidat eine Ziege, öffnet der Moderator immer die Tür mit
  der zweiten Ziege, und nicht den Gewinn.
\end{enumerate}
 
Die Situation ist nun wie folgt: Der Kandidat entscheidet sich für Tür
3, der Moderator hat Tür 1 geöffnet. Ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit $
p(G_2 \mid p(Z_1) $ nach einem Wechsel der Tür höher als meine
Gewinnwahrscheinlichkeit vor dem Öffnen einer Tür von $1/3$ oder bleibt sie
gleich? Die Vorbedingungen besagen:
\begin{enumerate}
  \item $ p(G_1) = p(G_2) = p(G_3) = 1/3 $
  \item $ p(Z_1 \mid G_3) = 1/2 $
  \item $ p(Z_1 \mid G_2) = 1 $ sowie $ p(Z_1 \mid G_1) = 0 $
\end{enumerate}

Nach dem Satz von Bayes ergibt sich die gewünschte Wahrscheinlichkeit als:

$$ p(G_2 \mid p(Z_1) = \frac{p(Z_1 \mid G_2) \cdot p(G_2)}{p(Z_1 \mid G_1) \cdot
p(G_1) + p(Z_2 \mid G_1) \cdot p(G_1) + p(Z_3 \mid G_1) \cdot p(G_1)} $$

$$ \Rightarrow \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot
\frac{1}{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

\textbf{Bei einem Wechsel erhöhen sich also paradoxer Weise die Gewinnchancen von
$1/3$ auf $2/3$.}

\textit{Erklärung über Wertetabelle:} Zählt man alle möglichen Kombinationen
auf, die man aus der Wahl der Kandidaten und des Moderators bilden kann auf, so
sieht man direkt den Vorteil des Wechsels. In der Spalte ``Wechseln`` steht öfter
das Auto, als in der Spalte ``Behalten``.

\begin{table}
\centering 
    \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
        \hline
        \textbf{Tor 1}  & Tor 2  & Tor 3  & geöffnet & Wechseln & Behalten \\
        \hline Auto   & Ziege  & Ziege  & Tor 2/3  & Ziege    & \textbf{Auto}     \\ 
        Ziege  & Auto   & Ziege  & Tor 3    & \textbf{Auto}     & Ziege    \\ 
        Ziege  & Ziege  & Auto   & Tor 2    & \textbf{Auto}     & Ziege    \\ \hline
        Tor 1  & \textbf{Tor 1}  & Tor 3  &        &          &        \\ \hline
        Auto   & Ziege  & Ziege  & Tor 3    & \textbf{Auto}     & Ziege    \\ 
        Ziege  & Auto   & Ziege  & Tor 1/3  & Ziege    & \textbf{Auto}     \\ 
        Ziege  & Ziege  & Auto   & Tor 1    & \textbf{Auto}     & Ziege    \\ \hline
        Tor 1  & Tor 2  & \textbf{Tor 3}  &        &          &          \\ \hline
        Auto   & Ziege  & Ziege  & Tor 2    & \textbf{Auto}     & Ziege    \\ 
        Ziege  & Auto   & Ziege  & Tor 1    & \textbf{Auto}     & Ziege    \\ 
        Ziege  & Ziege  & Auto   & Tor 1/2  & Ziege    & \textbf{Auto}     \\
        \hline
    \end{tabular}
\caption{Entscheidungstabelle Ziegenproblem}
\end{table}

Um die menschlichen Intuition ein wenig auf die richtige Bahn zu lenken kann man
sich das Spiel mit 100 Türen vorstellen. Nach der Wahl des Kandidaten öffnet der
Moderator alle Türen mit Ziegen bis auf 1 und die Wahl des Kandidaten. Nun ist
es klar ersichtlich, dass bei der ersten Wahl unter 100 Türen die Chance den
Gewinn getroffen zu haben deutlich geringer war, wie wenn ich mich nur noch
2 zur Wahl habe, unter denen garantiert ein Gewinn ist.

\subsection{Gefangenenparadoxon}
Ein eindrucksvolles Beispiel ist eine Szene, die sich im Gefängnis
abspielt. Die 3 Inhaftierten Alice, Bob und Charlie sind zum Tode verurteilt,
einer von ihnen soll jedoch begnadigt werden. 

Alice versucht durch Kontakt mit dem Wärter herauszufinden, wie ihre Chance
stehen und unterbreitet ihm ein Angebot. Er solle ihr denjenigen Mitinsassen
nennen, der \textit{nicht} Begnadigt werde.	Der Wärter denkt kurz darüber nach
und beschließt, dass Alice daraus keinen Nutzen für sich ziehen kann und nennt
ihr Bob. Alice hingegen denkt sich: Nun stehen nur noch Charlie und ich zur Wahl,
meine Chancen auf Begnadigung sind soeben von $\frac{1}{3}$ auf $\frac{1}{2}$ gestiegen! Wer hat
recht?

Wieder helfen die bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Satz von Bayes. Aus der
Nennung des Wärters ist bekannt:

$$ p(B_{tot} \mid A_{lebt}) =  p(C_{tot} \mid A_{lebt}) = \frac{1}{2} $$
$$ p(B_{tot} \mid B_{lebt}) =  0 $$
$$ p(B_{tot} \mid C_{lebt}) =  1 $$

Nun lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Alice überlebt, unter der
Voraussetzung dass Bob stirbt:

 $$ p(A_{lebt} \mid B_{tot}) =
\frac{p(B_{tot} \mid A_{lebt}) \cdot p(A_{lebt})}{p(B_{tot} \mid A_{lebt})
\cdot p(A_{lebt}) + p(B_{tot} \mid B_{lebt}) \cdot p(B_{lebt}) + p(B_{tot}
\mid C_{lebt}) \cdot p(C_{lebt})} $$

$$ \Rightarrow \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} \cdot
\frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} $$

Folglich sind also die Überlebenschancen von Alice durch das Zusatzwissen nicht
gestiegen, sondern unverändert geblieben.

\textit{Erklärungsversuch:} Überlegt man sich, dass die Wärter die
Zusatzinformation auf der Grundlage getroffen hat, Alice von vornherein aus der
Antwort auszulassen, kann sich lediglich die Chance für den anderen Mitinsassen
erhöhen, da er Teil der Entscheidung des Wächters war. Alice hingegen kann
hiervon garnicht profitieren.
Weiterhin hilft auch erneut die Überlegung mit 100 Gefangenen deren
Überlebenschance zu Beginn genau 1\% beträgt. Zählt der Wärter nun der Reihe nach
alle der Mithäftlinge auf, welche zum Tode verurteilt sind auf, bis nur noch
Charlie übrig ist, sind dessen Chancen auf 99\% gestiegen, wohingegen Alice aus
der Aufzählung ausgenommen war und dadurch immer noch mit 1\% überlebt.

\subsection{Wohnungsmarkt}\label{wohnungsmarkt}
In einer Stadt werden die Wohnungen in drei Kategorien (einfache, mittlere,
gehobene) aufgeteilt, zudem ist deren prozentualer Anteil bekannt und gegeben
mit:
 \begin{itemize}
  \item einfache Wohnungen 50\%; $p(A_1)$
  \item mittlere Wohnungen 30\%; $p(A_2)$
  \item gehobene Wohnungen 20\%; $p(A_3)$
 \end{itemize}

Ein weiteres Kriterium für den Wohnungsmarkt ist ob es sich bei der Wohnung um
einen Alt- oder um einen Neubau handelt. Von den verschiedenen Kategorien ist
bekannt, dass es sich mit dem folgenden Prozentsatz um eine Altbauwohnung
handelt:

\begin{itemize}
  \item einfache Wohnungen 80\%; $p(B|A_1)$
  \item mittlere Wohnungen 50\%; $p(B|A_2)$
  \item gehobene Wohnungen 25\%; $p(B|A_3)$
 \end{itemize}

Wie hoch ist der Anteil an Altbauwohnungen der Stadt?

Dieses Problem lässt sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lösen, da
die drei Kategorien der Wohnungen eine disjunkte Zerlegung von $\Omega$ bilden.

$$
p(B)= p(A_1) \cdot p(B|A_1) +
p(A_2) \cdot p(B|A_2) + p(A_3) \cdot p(B|A_3)
$$
$$
p(B) = 0.5 \cdot 0.8 + 0.30 \cdot 0.5 + 0.2 \cdot 0.25 = 0.4 + 0.15 + 0.05 = 0.6
$$

Der Anteil der Altbauwohnungen der Stadt beläuft sich somit auf 60\%.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{wohnungsmarkt.png}
\caption{Aufteilung des Wohnungsmarktes einer Stadt}
\label{wohnungsmarkt_graph1}
\end{center}
\end{figure}
Zur Veranschaulichung kann man sich vorstellen, dass durch die Multiplikation
die Kategorien der Wohnungen mit dem zugehörigen Prozentsatz eine Altbauwohnung
zu sein ``gewichtet'' werden. Der Anteil an einfachen Altbauwohnungen der Stadt
beträgt also 40\%, an mittleren Altbauwohnungen 15\% und an gehobenen 5\% (vgl.
Abbildung \ref{wohnungsmarkt_graph1} auf Seite \pageref{wohnungsmarkt_graph1}).
Anschließend werden die Produkte addiert und ergeben den kompletten Anteil der
Altbauwohnungen.

\newpage
